Concave et convexe : différences, définitions et exemples clés

En mathématiques et en géométrie, les notions de concave et convexe définissent des formes, des surfaces et des fonctions aux propriétés distinctes et parfois opposées. Comprendre ces termes nous permet d’analyser la courbure des objets, qu’ils soient visibles dans notre vie quotidienne ou qu’ils appartiennent au domaine abstrait des fonctions mathématiques. Voici les points essentiels pour maîtriser ces concepts :

• Reconnaître une figure concave ou convexe selon la position des segments entre points internes.
• Utiliser la règle des angles pour distinguer les deux formes en géométrie.
• Étudier la convexité et la concavité des fonctions grâce à leurs dérivées secondes.
• Découvrir des exemples issus de l’optique, de la nature ou de la vie courante.
• Appliquer ces notions pour mieux comprendre la dynamique des courbes et leurs impacts pratiques.

Ces fondamentaux ouvrent la voie à une meilleure compréhension de nombreuses disciplines, allant des mathématiques scolaires aux technologies actuelles, notamment en optique. Explorons ensemble ces différences en détail, illustrées par des exemples clairs et des explications précises.

Formes géométriques : reconnaître concave et convexe

Définir si une figure est convexe ou concave repose sur une observation simple : si toute ligne droite tracée entre deux points quelconques de la figure reste entièrement à l’intérieur de celle-ci, la figure est convexe.

Autrement dit, une figure convexe ne présente aucun “creux” ou “rentrant”. À l’inverse, une figure est concave lorsqu’il existe au moins un couple de points pour lesquels le segment qui les relie sort de la surface, traduisant ainsi une forme creusée ou avec des encoches.

Pour illustrer cela, intéressons-nous à des exemples précis :

• Figures convexes : cercle, carré, triangle, rectangle, pentagone régulier. Ces formes sont pleines, sans angle rentrant.
• Figures concaves : étoile à cinq branches, flèche, croissant de lune, toute forme présentant des “trous” ou des découpes vers l’intérieur.

Une astuce pour voir la différence consiste à examiner les angles intérieurs : un angle rentrant dépasse 180° dans une figure concave.

Par exemple, prenons un carré. Quelle que soit la position des deux points choisis à l’intérieur ou sur le bord, le segment entre ces points se trouve toujours à l’intérieur de la figure. Le carré est donc toujours convexe. À l’inverse, une étoile à 5 branches comporte des pointes saillantes séparées par des creux. Tracer un segment entre deux pointes opposées permet d’observer ce segment passer à l’extérieur, caractéristique d’une figure concave.

Dans les programmes scolaires, souvent dès le CM1/CM2, ces notions sont introduites avec ce type d’exercices. Elles aident à développer la visualisation spatiale des élèves et leur compréhension des propriétés des formes.

L’observation de ces formes ne se limite pas à la géométrie élémentaire. En architecture, par exemple, les dômes d’église se présentent en forme convexe depuis l’extérieur, tandis que l’intérieur présente une forme concave, un creux où la surface est “voutée”. Cette distinction est essentielle pour étudier la structure et la résistance d’un édifice.

Angles et segments : méthode efficace

La méthode la plus accessible pour reconnaître une figure convexe ou concave est d’analyser ses angles intérieurs. Sur une figure plane :

• Si tous les angles intérieurs sont inférieurs à 180°, alors la figure est convexe.
• Si au moins un angle intérieur est supérieur à 180°, la figure est nécessairement concave.

En pratique, cette méthode convient bien aux élèves et aux amateurs qui souhaitent rapidement identifier la nature d’une forme. Cela permet aussi d’éviter les erreurs liées à un jugement visuel imprécis.

Dans le cadre d’exercices scolaires, on encourage à tracer systématiquement les segments entre points pour s’assurer que ceux-ci restent dans la surface prévue.

Par exemple, lors d’un atelier pédagogique, Julien a utilisé cette méthode en programmant un atelier où les enfants de CM2 devaient classer des formes imprimées en deux catégories. Ils ont rapidement compris que les figures avec des rentrants visibles et des angles dépassant 180° étaient concaves.

Cette règle des angles alimente aussi des notions avancées de convexité en mathématiques, que nous étudierons dans la section suivante en analysant leur impact sur les fonctions.

Fonctions convexes et concaves : définitions mathématiques

Au-delà de la géométrie plane, les notions de convexité et concavité s’appliquent aux fonctions, concepts fondamentaux en analyse mathématique surtout en terminale ou dans l’enseignement supérieur. Comprendre ces notions permet de mieux étudier la forme d’une courbe, bien plus que simplement sa croissance ou décroissance.

Voici une définition rigoureuse :

• Fonction convexe : une fonction ( f ) est convexe sur un intervalle si, pour n’importe quels points ( a ) et ( b ) dans cet intervalle, le segment joignant ( (a, f(a)) ) et ( (b, f(b)) ) est situé au-dessus de la courbe. La courbe est en forme de U (ou bol creux).
• Fonction concave : ( f ) est concave si ce segment se trouve en dessous de la courbe, qui forme alors un dôme ou une forme « inverse de U ».

Formellement, cette définition utilise l’inégalité suivante pour tout ( t in [0,1] ) :

• Pour une fonction convexe :
  [
  f(ta+(1-t)b) leq t f(a) + (1-t) f(b)
  ]
• Pour une fonction concave :
  [
  f(ta+(1-t)b) geq t f(a) + (1-t) f(b)
  ]

Une fonction affine (droite) est un cas particulier car elle est à la fois convexe et concave puisque son graphique coïncide avec ses segments.

Une image efficace que nous utilisons souvent avec Clara pour expliquer cela est de penser à verser de l’eau sur la courbe : sur une fonction convexe, l’eau s’accumule dans le creux, tandis que sur une fonction concave, elle s’écoule vers l’extérieur.

Le critère le plus concret pour déterminer si une fonction ( f ) est convexe ou concave est l’étude de sa dérivée seconde :

• Si ( f^{primeprime}(x) geq 0 ) partout sur son domaine, la fonction est grandement convexe.
• Si ( f^{primeprime}(x) leq 0 ), la fonction est concave.

Exemples classiques :

• La fonction ( f(x) = x^2 ) est convexe sur ( mathbb{R} ) car sa dérivée seconde est constante et positive, ( f^{primeprime}(x) = 2 ).
• La fonction ( f(x) = -x^2 ) est concave, forme une parabole « ouverte vers le bas ».

Les notions de convexité façonnent profondément la compréhension de la « forme » d’une fonction, ouvrant la voie à des analyses plus poussées, comme la localisation de points d’inflexion où la courbe change de convexité.

Dérivée seconde et interprétations

La dérivée seconde ( f^{primeprime}(x) ) révèle comment la pente de la fonction évolue :

• Si elle est positive, la pente augmente : la courbe se creuse vers le haut, accélérant la variation de la fonction.
• Si elle est négative, la pente diminue : la courbe forme une bosse, la pente ralentit.

Par exemple, le graphe de la fonction exponentielle ( f(x) = e^x ) reste convexe sur tout ( mathbb{R} ) parce que ( f^{primeprime}(x) = e^x > 0 ). Cette propriété sert à démontrer l’inégalité ( e^x geq 1 + x ), un résultat utilisé fréquemment en mathématiques appliquées et optimisation.

Dans la vie courante, cette idée de convexité peut représenter une notion d’accélération ou de « renforcement progressif » d’une évolution, tandis que la concavité traduit une décélération ou un ralentissement.

Exemples d’applications concrètes dans l’optique et la vie quotidienne

Les concepts de concave et convexe transcendent la géométrie et l’analyse mathématique pour s’appliquer dans notre environnement physique, notamment dans le domaine de l’optique. Les miroirs et les lentilles utilisent ces principes pour modifier la trajectoire des rayons lumineux.

Par exemple :

• Miroir concave : creusé vers l’intérieur, il concentre les rayons lumineux, ce qui le rend utile dans les loupes, télescopes ou phares de voiture.
• Miroir convexe : bombé vers l’extérieur, il disperse les rayons, offrant un champ de vision large, comme dans les rétroviseurs automobiles ou les miroirs de surveillance.

Autre exemple familier : une cuillère présente une face concave (le creux permettant de contenir un liquide) et une face convexe (le dos bombé). Ces formes optimisent leur usage en fonction des propriétés spécifiques de la concavité et convexité.

En architecture, la courbure convexe des toitures ou des façades contribue à évacuer l’eau de pluie efficacement, tandis que des éléments intérieurs concaves créent des espaces protecteurs ou acoustiquement favorables.

Ces notions sont aussi centrales dans la conception des surfaces interactives modernes, par exemple dans la réalité virtuelle où la modélisation exacte de surfaces complexes requiert une maîtrise précise de la convexité et concavité pour un rendu visuel naturel.

En 2026, avec la montée en puissance des technologies de modélisation 3D et de fabrication additive, ces propriétés géométriques trouvent une application renforcée, notamment dans l’industrie du design ou le domaine médical pour le design de prothèses.

Liste d’usage quotidien pour distinguer ces formes

• Examinez un bol : il est typiquement convexe vers l’extérieur et concave à l’intérieur.
• Observez un dôme architectural : vue extérieure convexe, intérieure concave.
• Regardez un ballon de football : sa surface est toujours convexe.
• Tester un miroir de voiture : le champ large est dû à la convexité.
• Considérez une loupe : elle utilise un miroir concave pour concentrer la lumière.

Points clés pour l’analyse fine de la convexité en mathématiques

Dans une approche plus avancée, notamment en terminale spécialité mathématiques, on complète ces définitions intuitives par des outils analytiques approfondis.

Le concept de point d’inflexion est fondamental : il s’agit du point où la fonction change de convexité, passant d’un creux à une bosse ou inversement. Mathématiquement, ceci se traduit par l’annulation de la dérivée seconde :

• Un point ( x_0 ) est un point d’inflexion si ( f^{primeprime}(x_0) = 0 ) et que le signe de ( f^{primeprime} ) change autour de ( x_0 ).

Il ne faut pas confondre tous les zéros de la dérivée seconde avec des points d’inflexion. Par exemple, la fonction ( f(x) = x^4 ) a une dérivée seconde nulle en 0, mais reste convexe sur toute la droite, il n’y a pas de changement de concavité.

L’étude systématique de la convexité passe par :

1. Le calcul de la dérivée première ( f'(x) ).
2. Le calcul de la dérivée seconde ( f^{primeprime}(x) ).
3. L’étude du signe de ( f^{primeprime}(x) ) sur l’intervalle.
4. La déduction de la convexité ou concavité en chaque point.
5. L’identification d’éventuels points d’inflexion lorsque le signe change.

Cette méthode est la clé pour résoudre des exercices d’optimisation, démontrer des inégalités ou modéliser des phénomènes complexes en économie, physique, biologie, voire en intelligence artificielle.

Voici un tableau synthétique des convexités des fonctions usuelles :

Fonction	Intervalle	Dérivée seconde ( f^{primeprime}(x) )	Convexité
( x^2 )	( mathbb{R} )	2 (constante positive)	Convexe
( x^3 )	( ]-infty, 0] )	( 6x leq 0 )	Concave
( x^3 )	( [0, +infty[ )	( 6x geq 0 )	Convexe
( e^x )	( mathbb{R} )	( e^x > 0 )	Convexe
( ln x )	( ]0, +infty[ )	( -frac{1}{x^2} < 0 )	Concave
( sqrt{x} )	( ]0, +infty[ )	( -frac{1}{4} x^{-frac{3}{2}} < 0 )	Concave
( sin x )	( [0, pi] )	( -sin x leq 0 )	Concave