Pour calculer arctan(a) + arctan(b), on utilise la formule de somme arctan((a + b)/(1 − ab)), à condition de corriger le résultat lorsque la somme sort de l’intervalle des valeurs principales. Le point délicat n’est pas le calcul de la fraction : c’est le choix du bon angle, car la fonction arctangente renvoie toujours une valeur comprise entre −π/2 et π/2.
Pour avancer sans se tromper, nous allons distinguer la démonstration, les cas où il faut ajouter ou soustraire π, puis plusieurs applications numériques. Prenons le fil conducteur de Nora, qui révise les fonctions trigonométriques et veut vérifier ses résultats sans dépendre d’une calculatrice.
- La formule : elle vient de la tangente de la somme de deux angles.
- La précaution : le produit ab détermine si une correction de ±π est nécessaire.
- La méthode : nous vérifions le signe des paramètres et l’intervalle des valeurs principales.
- L’entraînement : des exemples détaillés et des exercices corrigés permettent de fixer le raisonnement.
Cette méthode sert autant à simplifier une expression qu’à résoudre un exercice de trigonométrie. Elle rappelle aussi une idée essentielle : une égalité portant sur les tangentes ne détermine un angle qu’à un multiple de π près.
Addition d’arctan : le principe
La fonction arctangente, notée arctan ou atan, est la fonction réciproque de la tangente lorsque celle-ci est restreinte à l’intervalle ]−π/2, π/2[. Pour tout réel x, arctan(x) désigne donc l’unique angle de cet intervalle dont la tangente vaut x. Par exemple, arctan(1) = π/4, puisque tan(π/4) = 1.
Cette convention explique la notion de valeurs principales. Même si plusieurs angles ont la même tangente, arctan(x) en choisit un seul, toujours compris entre −π/2 et π/2. Ainsi, tan(π/4) et tan(5π/4) valent toutes deux 1, mais arctan(1) vaut π/4, et non 5π/4.
Pour étudier une addition d’arctan, posons α = arctan(a) et β = arctan(b). Nous savons alors que tan(α) = a et tan(β) = b, avec α et β chacun dans l’intervalle principal. La question devient : que vaut tan(α + β), et dans quel intervalle se trouve l’angle obtenu ?
La tangente de la somme donne tan(α + β) = (tan(α) + tan(β))/(1 − tan(α)tan(β)), dès que le dénominateur n’est pas nul. En remplaçant les tangentes par a et b, on obtient (a + b)/(1 − ab). Cette identité trigonométrique établit le lien entre l’angle α + β et la fraction affichée dans la formule.
Une subtilité apparaît aussitôt : appliquer arctan à cette fraction restitue seulement l’angle principal qui possède cette tangente. Or α + β peut être situé hors de l’intervalle ]−π/2, π/2[. Les deux angles ont alors la même tangente, mais diffèrent de π ; c’est pourquoi la formule exige une vérification de branche.
Nora peut déjà retenir trois repères. Chaque arctangente est un angle principal ; la tangente de leur somme produit la fraction de la formule ; la somme des angles peut nécessiter une correction. Une fois ces trois éléments séparés, le calcul devient beaucoup plus lisible, même lorsque les nombres semblent peu familiers.
Formule de somme : démonstration
Reprenons α = arctan(a) et β = arctan(b). Puisque α et β sont dans ]−π/2, π/2[, leurs cosinus sont strictement positifs. Nous pouvons donc écrire sin(α) = a cos(α) et sin(β) = b cos(β), ce qui exprime simplement les définitions tan(α) = a et tan(β) = b.
La formule de l’addition des sinus et des cosinus donne sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β). En remplaçant les sinus par leurs expressions en fonction des tangentes, le numérateur devient cos(α)cos(β)(a + b). Pour le cosinus de la somme, nous avons cos(α + β) = cos(α)cos(β) − sin(α)sin(β), soit cos(α)cos(β)(1 − ab).
Lorsque 1 − ab n’est pas nul, le quotient des deux expressions fournit tan(α + β) = (a + b)/(1 − ab). C’est la démonstration directe de la tangente de la somme. Elle explique pourquoi le calcul repose sur le couple a + b et 1 − ab, plutôt que sur une règle mémorisée sans justification.
La relation ne suffit pas encore à identifier α + β exactement. Deux angles qui diffèrent d’un multiple entier de π ont la même tangente. La formule complète s’écrit donc : arctan(a) + arctan(b) est égal à arctan((a + b)/(1 − ab)) modulo π, pour ab ≠ 1. Pour obtenir l’égalité exacte, nous devons déterminer le quadrant de la somme.
Une façon particulièrement sûre de le faire consiste à examiner le signe du cosinus de α + β. Comme cos(α) et cos(β) sont positifs, le signe de cos(α + β) est celui de 1 − ab. Si ab < 1, ce cosinus est positif et α + β appartient à l’intervalle principal. La formule usuelle est alors exacte, sans correction.
Si ab > 1, le cosinus de la somme est négatif : α + β se trouve hors de l’intervalle principal. Le quotient de la formule reste correct pour la tangente, mais arctan de ce quotient renvoie l’angle décalé de π. Nous corrigerons le résultat en fonction du signe de a et de b. Cette démonstration par sinus et cosinus donne ainsi un contrôle géométrique utile, pas seulement une recette algébrique.
La transition vers les cas particuliers est naturelle : le signe du dénominateur décide si la valeur calculée reste dans l’intervalle attendu ou si elle doit être replacée dans le bon quadrant.
Arctan plus arctan : les cas
Pour ab < 1, nous avons directement arctan(a) + arctan(b) = arctan((a + b)/(1 − ab)). En effet, le dénominateur 1 − ab est positif, donc cos(α + β) est positif. La somme α + β appartient alors à ]−π/2, π/2[, qui est précisément l’intervalle où la fonction arctangente retrouve sans ambiguïté l’angle initial.
Pour ab > 1, le produit est nécessairement positif : a et b ont le même signe. Si a et b sont positifs, leurs arctangentes sont positives et leur somme dépasse π/2. L’arctangente de la fraction donne alors un angle négatif ayant la même tangente ; il faut ajouter π. Nous obtenons arctan(a) + arctan(b) = π + arctan((a + b)/(1 − ab)).
Si a et b sont négatifs avec ab > 1, leur somme d’angles est inférieure à −π/2. L’arctangente de la fraction renvoie cette fois un angle positif équivalent modulo π. Il faut soustraire π : arctan(a) + arctan(b) = −π + arctan((a + b)/(1 − ab)). Ces ajustements ne sont pas arbitraires ; ils replacent le résultat dans le quadrant correspondant aux signes des angles d’origine.
Le cas ab = 1 demande un traitement séparé, puisque la formule de tangente possède alors un dénominateur nul. Comme a et b ont le même signe et sont non nuls, β est le complément de α vers π/2 lorsque a et b sont positifs ; leur somme vaut π/2. Pour deux paramètres négatifs, la somme vaut −π/2. Par exemple, arctan(2) + arctan(1/2) = π/2.
Nora peut utiliser un contrôle en deux temps. D’abord, elle compare ab à 1 pour savoir si la correction est nécessaire ; ensuite, elle regarde le signe de a et b pour choisir entre +π et −π. Ce raisonnement évite l’erreur classique qui consiste à appliquer la formule brute et à s’arrêter au résultat principal de la calculatrice.
Une écriture robuste, particulièrement utile en programmation ou dans un calcul numérique, consiste à calculer l’angle dont le sinus est proportionnel à a + b et le cosinus à 1 − ab, avec une fonction de type atan2. Elle prend en compte les signes du numérateur et du dénominateur afin de retrouver le bon quadrant. À la main, le tableau suivant fournit le même repère.
| Condition | Signes de a et b | Résultat exact |
|---|---|---|
| ab < 1 | Quelconques | arctan((a + b)/(1 − ab)) |
| ab > 1 | a > 0 et b > 0 | π + arctan((a + b)/(1 − ab)) |
| ab > 1 | a < 0 et b < 0 | −π + arctan((a + b)/(1 − ab)) |
| ab = 1 | a et b positifs | π/2 |
| ab = 1 | a et b négatifs | −π/2 |
Calcul d’arctangentes : exemples
Commençons par a = 1/2 et b = 1/3. Le produit vaut 1/6, donc il est inférieur à 1 et aucune correction n’est requise. La fraction vaut (1/2 + 1/3)/(1 − 1/6) = (5/6)/(5/6) = 1 ; ainsi arctan(1/2) + arctan(1/3) = arctan(1) = π/4.
Ce résultat est intéressant parce que les deux angles ne sont pas remarquables pris séparément, alors que leur somme l’est. Pour le vérifier sans calculatrice, nous pouvons appliquer la tangente de la somme : (1/2 + 1/3)/(1 − 1/6) = 1. Comme le produit est inférieur à 1, la somme reste dans l’intervalle principal ; l’angle de tangente 1 y est bien π/4.
Prenons ensuite a = 2 et b = 3. Nous avons ab = 6, donc la somme des deux angles positifs dépasse π/2. La fraction vaut (2 + 3)/(1 − 6) = −1. Arctan(−1) vaut −π/4, mais cette valeur ne peut pas être la somme de deux angles positifs. Nous ajoutons π et obtenons arctan(2) + arctan(3) = 3π/4.
Une vérification rapide confirme le choix : 3π/4 est situé entre π/2 et π, et sa tangente vaut −1. Le résultat négatif de l’arctangente principale n’était donc pas faux pour la tangente ; il correspondait simplement à un autre angle. C’est la distinction entre angle et tangente qui protège contre les erreurs de signe.
Pour a = −2 et b = −3, le même quotient vaut −1 et le produit vaut 6. Les deux angles étant négatifs, leur somme est inférieure à −π/2. Nous soustrayons π à l’arctangente principale : −π + (−π/4) = −5π/4. Il s’agit bien de la somme exacte, même si l’angle est en dehors de l’intervalle principal.
Enfin, avec a = 2 et b = 1/2, le produit vaut exactement 1. La fraction de la formule n’est pas définie, mais la somme l’est : arctan(2) + arctan(1/2) = π/2. En effet, les deux angles sont positifs et leurs tangentes sont réciproques ; leur somme a un cosinus nul. Cet exemple montre pourquoi le cas ab = 1 ne doit jamais être traité en remplaçant simplement le dénominateur par zéro.
Quand les paramètres sont des décimaux, on peut suivre la même démarche et conserver une expression exacte aussi longtemps que possible. Pour a = 0,4 et b = 0,2, le produit vaut 0,08 et la fraction vaut 0,6/0,92, soit 15/23. La somme vaut donc arctan(15/23), environ 0,578 radian, soit près de 33,1 degrés. L’approximation intervient seulement à la fin.
Ces exemples montrent que le calcul numérique et le raisonnement sur les quadrants se complètent : la fraction donne la tangente, tandis que les signes permettent de retrouver l’angle recherché.
Exercices corrigés sur arctan
Pour s’entraîner, Nora adopte une procédure identique à chaque exercice. Elle calcule d’abord ab, vérifie si le dénominateur 1 − ab s’annule, puis évalue la fraction et détermine la correction éventuelle. Cette régularité facilite le calcul d’arctangentes et aide à repérer immédiatement une réponse incompatible avec les signes des termes de départ.
Exercice avec deux signes
Calculons arctan(1) + arctan(−1/2). Le produit vaut −1/2, donc il est inférieur à 1. La formule directe donne (1 − 1/2)/(1 − (−1/2)) = (1/2)/(3/2) = 1/3. Le résultat exact est arctan(1/3), environ 0,322 radian.
La vérification par le signe est simple : le premier angle vaut π/4 et le second est négatif, mais sa valeur absolue est plus petite que π/4. La somme est donc positive et inférieure à π/2, ce qui concorde avec arctan(1/3). Si une calculatrice avait affiché un angle négatif, il aurait fallu revoir une étape.
Exercice avec correction positive
Calculons arctan(4) + arctan(2). Le produit vaut 8, donc la somme de deux angles positifs dépasse π/2. La fraction vaut (4 + 2)/(1 − 8) = −6/7 ; l’arctangente principale est arctan(−6/7). Nous ajoutons π et obtenons π + arctan(−6/7), soit environ 2,433 radians.
Ce résultat se situe bien entre π/2 et π. Sa tangente vaut −6/7, conformément à l’identité trigonométrique. La correction n’altère donc pas la tangente : elle restitue l’angle du bon quadrant.
Exercice avec correction négative
Calculons arctan(−5) + arctan(−2). Le produit vaut 10 ; les deux paramètres sont négatifs, donc la somme est située sous −π/2. La fraction est (−5 − 2)/(1 − 10) = 7/9, dont l’arctangente principale est positive. Il faut soustraire π : le résultat exact vaut arctan(7/9) − π, soit environ −2,480 radians.
La valeur est négative, comme l’exige la somme de deux angles négatifs. Sa tangente vaut bien 7/9. Cet exemple est utile pour voir pourquoi la correction dépend des signes initiaux et non du seul signe de la fraction obtenue.
Exercice au dénominateur nul
Calculons arctan(3) + arctan(1/3). Le produit est égal à 1, ce qui interdit l’emploi direct de la fraction. Les deux paramètres étant positifs, nous savons que les angles sont dans ]0, π/2[ et que leur somme vaut π/2. Pour les versions négatives, arctan(−3) + arctan(−1/3) = −π/2.
Ces exercices corrigés fournissent un test de cohérence réutilisable : avant de valider une réponse, contrôlons sa tangente, son signe et son intervalle. La fonction arctangente reste simple à manier dès lors que nous séparons clairement le calcul algébrique du choix des valeurs principales.
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